Vectores
Estrategias
Las estrategias a seguir en la solución de los problemas de vectores es sencillo y debemos hacer uso de los distintos sistemas de coordenadas, claro a este nivel podríamos familiarizarnos con el sistema de coordenadas cartesiana y coordenadas polares.
a) Primero se coloca un sistema de referencia y se verifica cual dirección es positiva y cual dirección es negativa. a) en dos dimensiones por conveniencia el eje y (+) es hacia arriba y y (-) es hacia abajo, de igual manera, el eje x (+) hacia la derecha y el eje x (-) hacia la izquierda b) generalmente en tres dimensiones, colocamos el plano xy paralelo al horizonte y el eje z hacia arriba positivo y hacia abajo negativo.. pero eso puede cambiar según su conveniencia
b) Los signos de los vectores deben coincidir con los signos de los ejes de coordenadas. en dos dimensiones, un vector en el primer cuadrante tiene las dos componente positiva, y si esta en el cuarto cuadrante tendrá la componente x(+) y la componente y(-), asi de simple.
c) Debemos elegir en cual sistema de coordenadas podríamos trabajar mejor, en el sistema de coordenadas cartesianas o sistema de coordenadas polares. a) en el sistema de coordenadas cartesiano acostumbramos a utilizar las componentes rectangulares de un vector b) en el sistema de coordenadas polares acostumbramos a utilizar la ley del seno y la ley del coseno
Las estrategias a seguir en la solución de los problemas de vectores es sencillo y debemos hacer uso de los distintos sistemas de coordenadas, claro a este nivel podríamos familiarizarnos con el sistema de coordenadas cartesiana y coordenadas polares.
a) Primero se coloca un sistema de referencia y se verifica cual dirección es positiva y cual dirección es negativa. a) en dos dimensiones por conveniencia el eje y (+) es hacia arriba y y (-) es hacia abajo, de igual manera, el eje x (+) hacia la derecha y el eje x (-) hacia la izquierda b) generalmente en tres dimensiones, colocamos el plano xy paralelo al horizonte y el eje z hacia arriba positivo y hacia abajo negativo.. pero eso puede cambiar según su conveniencia
b) Los signos de los vectores deben coincidir con los signos de los ejes de coordenadas. en dos dimensiones, un vector en el primer cuadrante tiene las dos componente positiva, y si esta en el cuarto cuadrante tendrá la componente x(+) y la componente y(-), asi de simple.
c) Debemos elegir en cual sistema de coordenadas podríamos trabajar mejor, en el sistema de coordenadas cartesianas o sistema de coordenadas polares. a) en el sistema de coordenadas cartesiano acostumbramos a utilizar las componentes rectangulares de un vector b) en el sistema de coordenadas polares acostumbramos a utilizar la ley del seno y la ley del coseno
Problemas
1.2- En la ciudad de caracas ocurre un asalto a un banco y los ladrones huyen en un helicóptero, ejecutando tres desplazamientos antes de agotar el combustible. Inicialmente recorren 354 km en dirección sur-oeste luego 700km en dirección este y finalmente recorren 250 km en dirección sur. Si la policía de caracas quiere atraparlos. ¿en qué dirección debe dirigirse y que distancia debe viajar?, utilice dos procedimientos a) método analítico. b) método gráfico
Estrategia: vector 1; ubícate sobre el eje del sur y has el barrido horario hacia el eje oeste 45º y desde el origen hasta el punto mide 354 km, vector 2; mide 700 km desde el origen hacia el eje este, vector 3; mide 250 km desde el origen hacia el eje sur... saca las componentes de cada vector y suma
1.3- Dos vectores de magnitud A y B forman ángulo q entre si cuando son colocados origen con origen. Pruebe que el modulo de la suma es:
|A+B|= (A2+B2+ 2ABcosq )1/2
Estrategia: aplique el método algebraico pero como si trabajaras en el sistema de coordenadas polares, recuerde ley del seno y ley del seno
1.4- Demuestre mediante el cálculo vectorial, el teorema del coseno para los triángulos.
C2 = A2+B2 - 2ABcosq
Si A, B y C son los lados de triangulo equilátero (lados iguales) y q el ángulo entre los lados A y B considere los casos i) q = 90°, ii) q > 90°, iii) q < 90°
Estrategia: construya un triangulo cualquiera y aplique la ley del coseno (como si trabajaras en un sistema de coordenadas polares) resp: i) C2 = A2+B2 ii) C2 = A2+B2 +2AB = (A + B)2 ii) C2 = A2+B2 -2AB = (A - B)2
1.5- Un cubo de arista 3m tiene sus caras paralelas a los planos coordenados y con vértice en el origen. Una mosca situada en el origen se mueve a lo largo de las tres aristas hasta llegar al vértice opuesto. Escribir el vector desplazamiento de la mosca utilizando lo vectores unitarios i, j y k y hallar el modulo de su desplazamiento.
Estrategia: es simple recorre el eje x, luego desde ese mismo punto recorre un camino paralelo al eje y y finalmente desde ese mismo punto recorre un camino paralelo al eje z, (puedes alternar el recorrido) o construya los vectores sobre los ejes coordenados y luego se suman, resp: vector) a = 3i + 3j + 3k modulo) a = 3(3)1/2
1.6- Un tetraedro es un sólido limitado por cuatro superficie triangulares y cuatro vertice. Considerar el tetraedro con vértice en los puntos (0,0,0), (2,0,0), (0,2,0) y (1,1,2). Encontrar: (a) el vector normal de cada; (b) la magnitud de la superficie del tetraedro.
1.7- Utilizando métodos vectoriales encontrar: (a) la longitud de las diagonal principal de un cubo; (b) sus ángulos con los lados adyacentes; (c) sus ángulos con las caras adyacentes; (d) el ángulo entre las diagonales.
Estrategia: utilice la fig 1 (a) construya el vector desde el origen hasta el punto de coordenadas (1,1,1) (vértices opuestos) y calcule la magnitud (b) construya dos vectores uno en cada eje y el producto escalar calcula el angulo entre dos vectores (c) construya dos vectores uno en cada plano xz, yz, xy y el producto escalar calcula angulo entre dos vectores
1.8- Hallar las componentes de los vectores A, B y C, a) Encuentre el vector D = 2A- 3B + C, b)Halle el ángulo de D con el eje x , c) calcular el ángulo; grafica y analíticamente entre los vectores A y D, B y R (resultante)
1.6- Un tetraedro es un sólido limitado por cuatro superficie triangulares y cuatro vertice. Considerar el tetraedro con vértice en los puntos (0,0,0), (2,0,0), (0,2,0) y (1,1,2). Encontrar: (a) el vector normal de cada; (b) la magnitud de la superficie del tetraedro.
Estrategia: identifica cada vértice y construye dos vectores con su origen en el mismo vértice, el producto vectorial de esos dos vectores te da el vector normal a esa superficie y la magnitud de ese vector te da la magnitud de la superficie del paralelogramo formado por los dos vectores.
1.7- Utilizando métodos vectoriales encontrar: (a) la longitud de las diagonal principal de un cubo; (b) sus ángulos con los lados adyacentes; (c) sus ángulos con las caras adyacentes; (d) el ángulo entre las diagonales.
Estrategia: utilice la fig 1 (a) construya el vector desde el origen hasta el punto de coordenadas (1,1,1) (vértices opuestos) y calcule la magnitud (b) construya dos vectores uno en cada eje y el producto escalar calcula el angulo entre dos vectores (c) construya dos vectores uno en cada plano xz, yz, xy y el producto escalar calcula angulo entre dos vectores
1.8- Hallar las componentes de los vectores A, B y C, a) Encuentre el vector D = 2A- 3B + C, b)Halle el ángulo de D con el eje x , c) calcular el ángulo; grafica y analíticamente entre los vectores A y D, B y R (resultante)
Estrategia: a) los vectores están en coordenadas polares, solo hay que llevarlos a coordenadas cartesianas b) utilizamos producto escalar para hallar angulo entre dos vectores (recuerde que el vector sobre el eje x es i unitario), c) nuevamente producto escalar para hallar angulo entre vectores
